Prozentuale Veränderung und ihre Fallen — ist man nach −50 % und +50 % wieder bei null?
Formel für die prozentuale Veränderung, warum sich aufeinanderfolgende Veränderungen multiplizieren, warum −50 % und dann +50 % nicht zum Ausgangswert führen und wie man mit Anfangswerten von null oder unter null umgeht.
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„Der Umsatz stieg um 20 %“, „die Aktie fiel um 30 %“ — die prozentuale Veränderung ist die in Nachrichten und Berichten am häufigsten verwendete Prozentangabe. Die Formel ist einfach, doch bei mehreren aufeinanderfolgenden Veränderungen oder kleinen Ausgangswerten widerspricht das Ergebnis oft der Intuition.
Grundformel
Prozentuale Veränderung (%) = (Endwert − Anfangswert) ÷ Anfangswert × 100
- Preis für 1 kg Kaffeebohnen 28.000 € → 32.200 €: 4.200 ÷ 28.000 × 100 = 15 % Anstieg
- Stromrechnung 86.000 € → 73.100 €: −12.900 ÷ 86.000 × 100 = 15 % Rückgang
Erst 50 % runter, dann 50 % rauf
Eine Aktie für 1.000.000 € fällt um 50 % auf 500.000 €. Steigt sie danach um 50 %, kommen 50 % von 500.000 €, also 250.000 €, hinzu — macht 750.000 €. Bis zum Einstandspreis fehlen immer noch 25 %.
Der Grund: Die zweite Veränderung bezieht sich auf den bereits veränderten Wert. Aufeinanderfolgende Veränderungen werden nicht addiert, sondern multipliziert.
Gesamtfaktor = (1 + r₁) × (1 + r₂) × …
- −50 %, dann +50 %: 0,5 × 1,5 = 0,75 → insgesamt −25 %
- +10 %, dann −10 %: 1,1 × 0,9 = 0,99 → insgesamt −1 %
- Drei Jahre in Folge +10 %: 1,1³ = 1,331 → insgesamt +33,1 % (nicht 30 %)
Wie stark muss ein Wert steigen, um einen Verlust auszugleichen?
Um einen Rückgang von x % wettzumachen, ist ein Anstieg von x ÷ (100 − x) × 100 nötig.
- 10 % Rückgang → 11,1 % Anstieg nötig
- 20 % Rückgang → 25 % Anstieg nötig
- 50 % Rückgang → 100 % Anstieg nötig
- 80 % Rückgang → 400 % Anstieg nötig
Je größer der Verlust, desto rasanter wächst der zur Erholung nötige Anstieg. Das ist der mathematische Grund für die Anlegerregel „große Verluste vermeiden“.
Die durchschnittliche Veränderung ist kein arithmetisches Mittel
Stieg der Umsatz im ersten Jahr um 20 % und fiel im zweiten um 20 %, ist der Durchschnitt dann 0 %? 1,2 × 0,8 = 0,96 — in zwei Jahren ging der Umsatz also um 4 % zurück. Die durchschnittliche Wachstumsrate über mehrere Perioden berechnet man mit dem geometrischen Mittel.
Durchschnittliche jährliche Veränderung = (Gesamtfaktor)^(1/Anzahl der Perioden) − 1
Im Beispiel: 0,96^(1/2) − 1 ≈ −2,02 %, also ein Rückgang von durchschnittlich etwa 2 % pro Jahr.
Wenn der Anfangswert 0 oder negativ ist
- Ist der Anfangswert 0, kann man nicht durch 0 teilen — die prozentuale Veränderung ist nicht definiert. Beginnt etwa ein neuer Umsatz bei 0, bezeichnet man ihn als „neu“ oder beschreibt die Veränderung als Betragsdifferenz.
- Ist der Anfangswert negativ (z. B. operativer Verlust −5 Mrd. € → −2,5 Mrd. €), wird die Prozentangabe verwirrend. Dieser Rechner verwendet im Nenner den Betrag (Absolutwert) und zeigt die Verlustverringerung als +50 % an; in Berichten führt eine Betragsangabe wie „Verlust um 2,5 Mrd. € verringert“ aber seltener zu Missverständnissen.
Die Täuschung kleiner Ausgangswerte
Steigt die Zahl der Abonnenten von 2 auf 6, ist das ein Anstieg um 200 %. Die Zahl wirkt dramatisch, tatsächlich sind es aber nur 4 Personen mehr. Achten Sie bei prozentualen Veränderungen immer auch auf die Größe des Ausgangswerts und die absolute Veränderung.
Im Rechner ausprobieren
Geben Sie im Tab Prozent in der dritten Zeile Anfangs- und Endwert ein — prozentuale Veränderung und Differenz werden zusammen angezeigt. Mit der vierten Zeile ermitteln Sie den „um x % erhöhten Wert“, mit der fünften den „Wert vor der Veränderung“.