Taux de variation et pièges — baisser de 50 % puis monter de 50 %, est-ce revenir au point de départ ?
La formule du taux de variation, pourquoi les variations successives se multiplient, pourquoi −50 % puis +50 % ne ramène pas au départ, et comment traiter une valeur de départ nulle ou négative, avec des exemples.
« Le chiffre d'affaires a progressé de 20 % », « l'action a chuté de 30 % » : le taux de variation est le pourcentage le plus utilisé dans les actualités et les rapports. La formule est simple, mais quand les variations s'enchaînent ou que la base est petite, le résultat contredit l'intuition.
Formule de base
Taux de variation (%) = (valeur finale − valeur initiale) ÷ valeur initiale × 100
- Prix d'1 kg de café en grains de 28 000 € → 32 200 € : 4 200 ÷ 28 000 × 100 = hausse de 15 %
- Facture d'électricité de 86 000 € → 73 100 € : −12 900 ÷ 86 000 × 100 = baisse de 15 %
Baisser de 50 % puis monter de 50 %
Une action de 1 000 000 € qui baisse de 50 % vaut 500 000 €. Si elle remonte ensuite de 50 %, elle gagne 50 % de 500 000 €, soit 250 000 €, et atteint 750 000 €. Il manque encore 25 % pour revenir au point de départ.
La raison : la base de la seconde variation est la valeur déjà modifiée. Des variations successives ne s'additionnent pas : elles se multiplient.
Coefficient final = (1 + r₁) × (1 + r₂) × …
- −50 % puis +50 % : 0,5 × 1,5 = 0,75 → au total −25 %
- +10 % puis −10 % : 1,1 × 0,9 = 0,99 → au total −1 %
- +10 % trois années de suite : 1,1³ = 1,331 → au total +33,1 % (et non 30 %)
Quelle hausse pour revenir au niveau initial
Pour compenser une baisse de x %, il faut une hausse de x ÷ (100 − x) × 100.
- Baisse de 10 % → hausse de 11,1 % nécessaire
- Baisse de 20 % → hausse de 25 % nécessaire
- Baisse de 50 % → hausse de 100 % nécessaire
- Baisse de 80 % → hausse de 400 % nécessaire
Plus la perte est grande, plus la hausse nécessaire pour la compenser augmente vite. C'est la raison mathématique du conseil « évitez les grosses pertes » en investissement.
Le taux de variation moyen n'est pas une moyenne arithmétique
Si les ventes ont progressé de 20 % la première année puis baissé de 20 % la suivante, la moyenne est-elle de 0 % ? Comme 1,2 × 0,8 = 0,96, elles ont baissé de 4 % en deux ans. Le taux de croissance moyen sur plusieurs périodes se calcule avec la moyenne géométrique.
Taux de variation annuel moyen = (coefficient final)^(1/nombre de périodes) − 1
Dans l'exemple ci-dessus, 0,96^(1/2) − 1 ≈ −2,02 %, soit une baisse moyenne d'environ 2 % par an.
Quand la valeur de départ est nulle ou négative
- Si la valeur de départ est 0, on ne peut pas diviser par zéro : le taux de variation n'est pas défini. Pour une recette nouvelle partant de 0, indiquez « nouveau » ou exprimez l'écart en valeur.
- Si la valeur de départ est négative (ex. perte d'exploitation de −5 milliards d'euros → −2,5 milliards d'euros), le pourcentage prête à confusion. Ce calculateur utilise la valeur absolue au dénominateur et affiche la réduction de la perte comme +50 %, mais dans un rapport il est plus clair d'écrire en montant, par exemple « perte réduite de 2,5 milliards d'euros ».
L'illusion de la petite base
Si les abonnés passent de 2 à 6, la hausse est de 200 %. Le chiffre est spectaculaire, mais le changement réel est de 4 personnes. Face à un taux de variation, vérifiez la taille de la base et la variation absolue en même temps.
Essayer dans le calculateur
Sur la troisième ligne de l'onglet Pourcentage, saisissez la valeur initiale et la valeur finale pour obtenir le taux de variation et l'écart. La quatrième ligne donne la « valeur augmentée de x % », et la cinquième la « valeur avant variation ».