Variación porcentual y sus trampas — ¿se recupera lo perdido si baja un 50% y luego sube un 50%?
Fórmula de la variación porcentual, por qué los cambios sucesivos se multiplican, por qué bajar un 50% y subir un 50% no te deja igual y cómo tratar valores iniciales negativos o cero, con ejemplos.
«Las ventas crecieron un 20%», «la acción cayó un 30%»: la variación porcentual es el porcentaje más usado en noticias e informes. La fórmula es sencilla, pero cuando los cambios se encadenan o el valor de referencia es pequeño, el resultado contradice la intuición.
Fórmula básica
Variación porcentual (%) = (valor final − valor inicial) ÷ valor inicial × 100
- Precio de 1 kg de café en grano de 28 000 € → 32 200 €: 4200 ÷ 28 000 × 100 = subida del 15%
- Factura de la luz de 86 000 € → 73 100 €: −12 900 ÷ 86 000 × 100 = bajada del 15%
Si baja un 50% y luego sube un 50%
Una acción de 1 000 000 € que cae un 50% pasa a valer 500 000 €. Si después sube un 50%, gana el 50% de 500 000 €, es decir, 250 000 €, y queda en 750 000 €. Todavía le falta un 25% para recuperar el valor inicial.
La razón es que la referencia del segundo cambio es el valor ya modificado. Los cambios sucesivos no se suman: se multiplican.
Factor final = (1 + r₁) × (1 + r₂) × …
- −50% y luego +50%: 0.5 × 1.5 = 0.75 → en total −25%
- +10% y luego −10%: 1.1 × 0.9 = 0.99 → en total −1%
- +10% durante 3 años seguidos: 1.1³ = 1.331 → en total +33.1% (no 30%)
Cuánto tiene que subir para volver al valor original
Para recuperar un valor que ha bajado un x%, hay que subir x ÷ (100 − x) × 100.
- Bajada del 10% → hace falta subir un 11.1%
- Bajada del 20% → hace falta subir un 25%
- Bajada del 50% → hace falta subir un 100%
- Bajada del 80% → hace falta subir un 400%
Cuanto mayor es la pérdida, más rápido crece la subida necesaria para recuperarse. Esa es la razón matemática del consejo de inversión «evita las grandes pérdidas».
La variación media no es la media aritmética
Si las ventas suben un 20% el primer año y bajan un 20% el segundo, ¿la media es 0%? 1.2 × 0.8 = 0.96, así que en dos años bajaron un 4%. La tasa media de crecimiento de varios periodos se calcula con la media geométrica.
Variación media anual = (factor final)^(1/número de periodos) − 1
En el ejemplo anterior, 0.96^(1/2) − 1 ≈ −2.02%, es decir, una bajada media de aproximadamente un 2% anual.
Cuando el valor inicial es 0 o negativo
- Si el valor inicial es 0, no se puede dividir entre 0 y la variación porcentual no está definida. En casos que parten de 0, como unas ventas nuevas, indica «nuevo» o explica la diferencia en importe.
- Si el valor inicial es negativo (por ejemplo, una pérdida operativa de −5000 millones → −2500 millones), el porcentaje resulta confuso. Esta calculadora usa el valor absoluto en el denominador y muestra la reducción de la pérdida como +50%, pero en un informe es menos ambiguo expresarlo en importe, como «las pérdidas se redujeron en 2500 millones».
La ilusión de las bases pequeñas
Pasar de 2 a 6 suscriptores es un aumento del 200%. La cifra es espectacular, pero el cambio real son 4 personas. Al mirar una variación porcentual, comprueba también el tamaño del valor de referencia y el cambio absoluto.
Pruébalo en la calculadora
En la tercera fila de la pestaña de porcentaje, introduce el valor inicial y el final para ver a la vez la variación porcentual y la diferencia. Con la cuarta fila obtienes «el valor aumentado un x%» y con la quinta, «el valor antes del cambio».