التقريب والبتر والتقريب لأعلى ومشكلة 0.1 + 0.2 — كل ما يخص معالجة الكسور في الحاسبة
الفرق بين التقريب والبتر (التقريب لأسفل) والتقريب لأعلى، ومعالجة كسور المبالغ، وتقريب المصرفيين، وسبب ظهور 0.1 + 0.2 على شكل 0.30000000000000004 في الحاسوب، وطريقة معالجة هذه الحاسبة.
تكثر في حسابات النسبة المئوية القسمة والضرب في أعداد عشرية، لذا نادرًا ما تنتهي النتيجة بأرقام صحيحة. وقد يختلف الحساب نفسه ببضع وحدات أو سنتات بحسب طريقة معالجة الكسور، ومعرفة القواعد تساعدك على تفسير الفروق بين الإيصالات وعروض الأسعار.
ثلاث طرق لمعالجة الكسور
- التقريب: إذا كان الرقم المحذوف 5 أو أكثر نرفع، وإلا نحذف. 1,234.5 → 1,235
- البتر (التقريب لأسفل): نحذف كل الأرقام الزائدة. 1,234.9 → 1,234
- التقريب لأعلى: إذا لم يكن الرقم المحذوف 0 نرفع. 1,234.1 → 1,235
يمكن أيضًا تغيير الوحدة. فبتر 12,345 لأقرب 10 يعطي 12,340، وتقريبه لأقرب 100 يعطي 12,300.
أين تُستخدم كل طريقة
- ضريبة القيمة المضافة: في كوريا الجنوبية، بتر الكسر الأقل من 1 وون هو الممارسة الشائعة
- سداد الضرائب الوطنية: في كوريا الجنوبية، لا يُحتسب الكسر الأقل من 10 وون وفقًا للمادة 47 من قانون إدارة الأموال العامة الكوري
- أسعار الخصم في المتاجر: تختلف من متجر لآخر، لكن كثيرًا ما يُبتر مبلغ الخصم لأقرب 10 أو 100
- نشر الإحصاءات والنسب: التقريب إلى منزلة أو منزلتين عشريتين هو المعتاد
- الكميات المطلوبة (صناديق، أشخاص): لا يجوز النقص، لذا التقريب لأعلى
كسور الأعداد السالبة
هل يُقرَّب −2.5 إلى −3 أم −2؟ تقرّب هذه الحاسبة بعيدًا عن الصفر فتعطي −3. أما البتر فنحو الصفر (−1.239 → −1.23)، والتقريب لأعلى بعيدًا عن الصفر. أي تُطبَّق القاعدة نفسها على المقدار (القيمة المطلقة) بصرف النظر عن إشارة المبلغ.
تقريب المصرفيين
عند النصف تمامًا (…5) يُقرَّب نحو العدد الزوجي (2.5 → 2، 3.5 → 4). يُستخدم في بعض بيئات المحاسبة والبرمجة لتقليل الخطأ المنحاز إلى جهة واحدة عند تكرار التقريب مرات كثيرة جدًا. أما الحسابات اليومية وهذه الحاسبة فتستخدم التقريب العادي.
لماذا يعطي الحاسوب 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004
يخزّن الحاسوب الأعداد بالنظام الثنائي. وكما أن 1/3 في النظام العشري هو 0.333… بلا نهاية، فإن 0.1 في النظام الثنائي كسر لا ينتهي، فلا يُخزَّن بدقة بل يُقرَّب إلى قيمة قريبة جدًا. لذلك تعطي معظم لغات البرمجة، ومنها JavaScript، الناتج 0.30000000000000004 عند حساب 0.1 + 0.2.
وللسبب نفسه، فإن الطريقة الشائعة لتقريب 1.005 إلى منزلتين عشريتين (toFixed(2)) تعيد 1.00 لا 1.01، لأن 1.005 مخزَّن فعليًا على أنه 1.00499999….
طريقة معالجة هذه الحاسبة
- تُصحَّح كل النتائج الوسيطة عند 12 رقمًا معنويًا لإزالة تشويش التمثيل الثنائي. 0.1 + 0.2 → 0.3
- يتم التقريب دون ضرب الأعداد، بل بتحريك المنازل باستخدام الترميز الأسي العشري. 1.005 → 1.01، 2.675 → 2.68
- يمكن اختيار وحدة كسور المبالغ (1 أو 10 أو 100 وغيرها) وطريقتها (بتر أو تقريب أو تقريب لأعلى) في تبويبي الخصم والضريبة.
- جرى التحقق من هذه الطريقة باختبارات وحدات node على القيم الحدية (1.005، −2.5، القيم الصغيرة جدًا والكبيرة جدًا).
المنازل المعروضة والقيمة الفعلية
إعداد المنازل العشرية أعلى الشاشة لا يغيّر سوى عدد المنازل المعروضة. فقيمة 1 ÷ 3 × 100 داخليًا هي 33.3333333333، وتظهر 33.33 عند اختيار منزلتين. وزر النسخ ينسخ القيمة المعروضة على الشاشة.
خلاصة
اختلاف النتيجة ببضع وحدات بسبب اختلاف قواعد معالجة الكسور ليس خطأً بل اختلاف في القواعد. إذا لم تتطابق المبالغ، فتحقق أولًا من ① المرحلة التي عولجت فيها الكسور ② الوحدة والطريقة المستخدمتين.