حساب نسبة التغير وفخاخها — هل تعود إلى رأس المال بعد هبوط 50% ثم صعود 50%؟
معادلة نسبة التغير، ومبدأ الضرب في التغيرات المتتالية، ولماذا لا يعيدك هبوط 50% ثم صعود 50% إلى نقطة البداية، وكيفية التعامل مع القيمة الأولى السالبة أو الصفرية، مع أمثلة.
مثل «ارتفعت المبيعات 20%» و«هبط السهم 30%»، تُعد نسبة التغير أكثر النسب المئوية استخدامًا في الأخبار والتقارير. معادلتها بسيطة، لكن حين تتوالى التغيرات أو تكون القيمة الأساسية صغيرة تظهر نتائج تخالف الحدس.
المعادلة الأساسية
نسبة التغير (%) = (القيمة اللاحقة − القيمة الأولى) ÷ القيمة الأولى × 100
- سعر 1kg من حبوب البن 28,000 → 32,200: 4,200 ÷ 28,000 × 100 = ارتفاع 15%
- فاتورة الكهرباء 86,000 → 73,100: −12,900 ÷ 86,000 × 100 = انخفاض 15%
هبوط 50% ثم صعود 50%
سهم قيمته 1,000,000 إذا هبط 50% يصبح 500,000. وإذا صعد بعدها 50% يزيد بمقدار 50% من 500,000، أي 250,000، فيصبح 750,000. ما زال ينقصه 25% ليعود إلى رأس المال.
السبب أن أساس التغير الثاني هو القيمة التي تغيرت بالفعل. فالتغيرات المتتالية لا تُجمع بل تُضرب.
المعامل النهائي = (1 + r₁) × (1 + r₂) × …
- −50% ثم +50%: 0.5 × 1.5 = 0.75 → الإجمالي −25%
- +10% ثم −10%: 1.1 × 0.9 = 0.99 → الإجمالي −1%
- +10% لثلاث سنوات متتالية: 1.1³ = 1.331 → الإجمالي +33.1% (وليس 30%)
كم يجب أن ترتفع القيمة لتعود كما كانت
لاستعادة قيمة انخفضت بنسبة x% يلزم ارتفاع قدره x ÷ (100 − x) × 100.
- انخفاض 10% → يلزم ارتفاع 11.1%
- انخفاض 20% → يلزم ارتفاع 25%
- انخفاض 50% → يلزم ارتفاع 100%
- انخفاض 80% → يلزم ارتفاع 400%
كلما كبرت الخسارة ازدادت نسبة الارتفاع اللازمة للتعافي بشدة. وهذا هو السبب الرياضي وراء نصيحة المستثمرين «تجنّب الخسائر الكبيرة».
متوسط نسبة التغير ليس متوسطًا حسابيًا
إذا زادت المبيعات 20% في السنة الأولى ثم انخفضت 20% في السنة التالية، فهل المتوسط 0%؟ بما أن 1.2 × 0.8 = 0.96، فقد انخفضت المبيعات 4% خلال سنتين. يُحسب متوسط النمو لعدة فترات باستخدام المتوسط الهندسي.
متوسط التغير السنوي = (المعامل النهائي)^(1/عدد الفترات) − 1
في المثال أعلاه 0.96^(1/2) − 1 ≈ −2.02%، أي انخفاض سنوي متوسط قدره نحو 2%.
إذا كانت القيمة الأولى صفرًا أو سالبة
- إذا كانت القيمة الأولى 0 فلا يمكن القسمة على 0، ومن ثم لا تُعرَّف نسبة التغير. في الحالات التي تبدأ من الصفر، كالمبيعات الجديدة، اكتب «جديد» أو اشرح بفرق المبلغ.
- إذا كانت القيمة الأولى سالبة (مثل خسارة تشغيلية −5 مليارات → −2.5 مليار) يصبح التعبير بالنسبة المئوية مربكًا. تستخدم هذه الحاسبة القيمة المطلقة في المقام فتعرض تقلص الخسارة على أنه +50%، لكن في التقارير يكون التعبير بالمبلغ، مثل «تقلصت الخسارة بمقدار 2.5 مليار»، أقل إثارة للالتباس.
وهم القيمة الأساسية الصغيرة
إذا زاد عدد المشتركين من 2 إلى 6 فتلك زيادة 200%. الرقم مثير، لكن التغير الفعلي 4 أشخاص فقط. عند النظر إلى نسبة التغير، تحقق أيضًا من حجم القيمة الأساسية ومقدار التغير المطلق.
جرّب في الحاسبة
أدخل القيمة الأولى والقيمة اللاحقة في السطر الثالث من تبويب النسبة لتظهر نسبة التغير والفرق معًا. ويعرض السطر الرابع «القيمة بعد زيادتها x%»، والسطر الخامس «القيمة قبل التغير».