Процент изменения и его ловушки — если упасть на 50 % и вырасти на 50 %, вернёмся ли к исходному?
Формула процента изменения, почему последовательные изменения перемножаются, почему падение на 50 % и рост на 50 % не возвращают к исходному значению и что делать с нулевой или отрицательной базой.
«Выручка выросла на 20 %», «акции упали на 30 %» — процент изменения чаще всего встречается в новостях и отчётах. Формула проста, но когда изменения идут одно за другим или база мала, результат расходится с интуицией.
Основная формула
Процент изменения (%) = (конечное значение − начальное значение) ÷ начальное значение × 100
- Цена 1 кг кофейных зёрен 28 000 ₽ → 32 200 ₽: 4 200 ÷ 28 000 × 100 = рост на 15 %
- Счёт за электричество 86 000 ₽ → 73 100 ₽: −12 900 ÷ 86 000 × 100 = снижение на 15 %
Упасть на 50 %, а потом вырасти на 50 %
Акция за 1 000 000 ₽ падает на 50 % — до 500 000 ₽. Если затем она вырастет на 50 %, прибавится 50 % от 500 000 ₽, то есть 250 000 ₽, и получится 750 000 ₽. До исходной цены всё ещё не хватает 25 %.
Причина в том, что второе изменение считается от уже изменённого значения. Последовательные изменения не складываются, а перемножаются.
Итоговый коэффициент = (1 + r₁) × (1 + r₂) × …
- −50 %, затем +50 %: 0,5 × 1,5 = 0,75 → в итоге −25 %
- +10 %, затем −10 %: 1,1 × 0,9 = 0,99 → в итоге −1 %
- Три года подряд +10 %: 1,1³ = 1,331 → в итоге +33,1 % (а не 30 %)
На сколько нужно вырасти, чтобы вернуться к исходному значению
Чтобы отыграть падение на x %, нужен рост на x ÷ (100 − x) × 100 %.
- Падение на 10 % → нужен рост на 11,1 %
- Падение на 20 % → нужен рост на 25 %
- Падение на 50 % → нужен рост на 100 %
- Падение на 80 % → нужен рост на 400 %
Чем больше потеря, тем резче растёт рост, необходимый для восстановления. Это математическая причина инвестиционного правила «избегайте крупных потерь».
Средний процент изменения — не среднее арифметическое
Если выручка в первый год выросла на 20 %, а на второй упала на 20 %, в среднем получится 0 %? 1,2 × 0,8 = 0,96, значит, за два года выручка уменьшилась на 4 %. Средний темп роста за несколько периодов считают через среднее геометрическое.
Среднегодовой процент изменения = (итоговый коэффициент)^(1/число периодов) − 1
В примере выше: 0,96^(1/2) − 1 ≈ −2,02 %, то есть в среднем около 2 % снижения в год.
Если начальное значение равно 0 или отрицательно
- Если начальное значение равно 0, делить на 0 нельзя, и процент изменения не определён. Когда показатель начинается с нуля, как новая выручка, его помечают как «новый» или описывают изменение разницей в деньгах.
- Если начальное значение отрицательно (например, операционный убыток −5 млрд ₽ → −2,5 млрд ₽), процентная запись сбивает с толку. Этот калькулятор берёт в знаменателе модуль и показывает сокращение убытка как +50 %, но в отчётах понятнее писать суммой: «убыток сократился на 2,5 млрд ₽».
Иллюзия малой базы
Если подписчиков стало не 2, а 6, это рост на 200 %. Число выглядит впечатляюще, но на деле прибавилось всего 4 человека. Оценивая процент изменения, смотрите также на размер базы и абсолютное изменение.
Попробуйте в калькуляторе
Введите на вкладке «Проценты» в третьей строке начальное и конечное значения — процент изменения и разница появятся вместе. Четвёртая строка покажет «значение, увеличенное на x %», пятая — «значение до изменения».